OKEK (ORTAK KATLARIN EN KÜÇÜĞÜ)
İki veya daha çok sayının her birine bölünen en küçük sayıdır. Verilen iki veya daha çok sayının OKEK’ ini bulmak için, sayılar asal çarpanlarının kuvvetleri cinsinden yazılır ve ortak asal çarpanlarından üsleri en büyük olanlarla ortak olmayan asal çarpanlarının tümü alınarak çarpılır.
1. Aralarında asal sayıların OKEK’ i, bu sayıların çarpımlarına eşittir. Yani, a ile b sayısı aralarında asal sayılar ise,
(a, b)OKEK = a . b dir.
2. a ve b iki doğal sayı olmak üzere, bu iki doğal sayının OBEB’ i ile OKEK’ inin çarpımı, bu iki doğal sayının çarpımına eşittir. Yani, a ve b doğal sayısı için
a . b = (a, b)OKEK . (a, b)OBEB dir.
3. a, b, c, d sayma sayıları olmak üzere,
(a/c,b/d)OKEK = (a, b)OKEK / (c, d)OBEB dir.
4. a ve b iki doğal sayı olmak üzere,
(a, b)OKEK = x ve (a, b)OBEB = y
ise, a ile b sayılarının toplamının en büyük değeri
x + y dir.
5. Ardışık iki sayma sayısının OKEK’ i bu iki sayının çarpımına eşittir. Yani, a ile b ardışık iki sayma sayısı olmak üzere,
(a, b)OKEK = a . b dir.
6. a ile b sayma sayıları olmak üzere, a < b ise,
(a, b)OBEB <= a <= b <= (a, b)OKEK dir.
Örnek :
18 ile 45 sayılarının OKEK’ ini bulunuz.
Çözüm:
18 = 2 . 32
45 = 32 . 5
olduğundan, (18, 45)OKEK = 32 . 2 . 5 = 90 olur.
Örnek :
a ve b doğal sayılarının OKEK’ i 48 ve OBEB’ i 8 ve bu sayılardan biri 16 ise, diğer sayı kaçtır?
Çözüm:
a = 16 olsun. (16, b)OKEK = 48 ve (16, b)OBEB = 8 olduğuna göre,
a . b = (a, b)OKEK . (a, b)OBEB
16 . b = 48 . 8
b = 24
bulunur.
Örnek :
Herhangi iki doğal sayının OKEK’ i 120 ve OBEB’ i 8 olduğuna göre, bu sayıların toplamı en çok kaç olabilir?
Çözüm:
İki doğal sayının toplamı en çok bu iki sayının OBEB’ ile OKEK’ inin toplamı kadar olabileceğinden,
120 + 8 = 128 dir.
Örnek :
Boyutları 2 cm, 4 cm, 6 cm olan dikdörtgenler prizması biçimindeki kutunun içerisi, boş yer kalmayacak şekilde en küçük boyutlu küplerle doldurulmak istenmektedir. Bu kutuya kaç tane küp yerleştirilebilir?
Çözüm:
Kutu en küçük boyutlu küplerle doldurulmak istendiğinden, 2 cm, 4 cm, 6 cm sayılarının OKEK’ i bulunmalıdır. Bu nedenle,
(2, 4, 6)OKEK = 12 tür. Böylece, en küçük boyutlu küpün bir kenarı = 12 cm olur. Bir kenarı 12 cm olacak şekilde yerleştirilebilecek küp sayısı,
Küp sayısı = Kutunun hacmi / Küpün hacmi = 12.12.12/2.4.6 = 6.3.2 = 36
tane olur.
Örnek :
a, b, c asal sayılar olmak üzere,
x = a2 . b3 . c5 ve y = a5 . c2
ise, (x, y)OBEB = ? ve (x, y)OKEK = ? bulunuz.
Çözüm:
(x, y)OBEB = a2 . c2 = (a . c)2
(x, y)OKEK = a5 . b3 . c5 olur.
Örnek :
Ayşe toplarını 2′ şer 2′ şer, 4′ er 4′ er, 6′ şar 6′ şar sayarsa, her defasında 1 top artıyor. Ayşe’ nin en az kaç topu vardır?
Çözüm:
Top sayısı = (2, 4, 6)OKEK + 1 = 12 + 1 = 13 tür.
Örnek :
2, 3, 4 sayılarına bölündüğünde 1 kalanını veren en büyük 2 basamaklı doğal sayı kaçtır?
Çözüm:
[(2, 3, 4)OKEK] . k + 1 <= 99
24 . k + 1 <= 99
k = 4 olur. Buradan, sayı
24 . 4 + 1 = 96 + 1 = 97
bulunur.
Örnek :
İki yangın sireni 5/7, 7/8 saat aralıklarla alarm vermektedirler. Bu iki yangın sireni aynı anda en son Cuma günü sabah 04.00′ de alarm verdiklerine göre, hangi gün saat kaçta tekrar birlikte alarm verirler?
Çözüm:
Yangın sirenleri 5/7, 7/8 sayılarının OKEK’ lerinde aynı anda alarm verirler. Dolayısıyla,
(5/7, 7/8)OKEK = (5, 7)OKEK / (7, 8)OBEB = 35 / 1 = 35 saat
sonra tekrar alarm verirler. O halde, Cumartesi günü saat 15.00′ de tekrar alarm vereceklerdir.
Örnek :
Bir a doğal sayısı 5/3, 6 sayılarına bölündüğünde sonuç tamsayı olduğuna göre, bu koşula uyan en küçük a sayısı kaçtır?
Çözüm:
5/3 ile 6′ nın OKEK’ ini bulmalıyız. Bu takdirde,
(5/3, 6)OKEK = (5, 6)OKEK / (3, 1)OBEB = 30 / 1 = 30 olur.
Örnek :
OKEK’ i 7 olan a ve b doğal sayılarının toplamlarının en küçük ve en büyük değerlerinin çarpımı kaç olur?
Çözüm:
(a, b)OKEK = 7 ve sayıların farklı olmadıkları söylenmediğine göre,
a = 7 ve b = 7
alınabilir. Bu durumda, a ile b’ nin toplamının en büyük değeri
a + b = 7 + 7 = 14 … (1)
olur. Diğer taraftan,
a = 1 ve b = 7 alınırsa, a ile b’ nin toplamının en küçük değeri
a + b = 1 +7 = 8 … (2)
olur. Buradan, (1) ile (2) nin çarpımı 14 . 8 = 112 bulunur